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La propagazione dell’energia in modalità calore, nella conduzione

Finalmente #qui due belle paginette che collegano legge di Fourier e entropia di un sistema chiuso che viene mantenuto in uno stato stazionario. Leggete e gustatevi il processo intrinsecamente irreversibile della conduzione termica, vera e propria definizione di quella forma di transito di energia quale è il calore. Le difficoltà matematiche le ho rese al minimo (tutta algebra) e ho dichiarato bene i punti concettuali associati a passaggi matematici difficili. Sul finale un utile link ad una animazione che descrive l’approccio all’equilibrio (lo facciamo rendendo isolato il sistema e interrompendo dunque lo stato stazionario), in modo da vedere la freccia del tempo in azione.

Corrente di entropia, conduzione termica e ambiguità sulla potenza dissipata

Ho trovato #qui un lavoro del liceo cantonale di Locarno (D’Anna) ove si parla di conduzione termica utilizzando i concetti di “corrente di energia” e di “corrente di entropia” per indicare il flusso di energia e di entropia nell’unità di tempo, tra due sistemi che interagiscono termicamente. Il rapporto tra essi è proprio la temperatura assoluta alla quale avviene lo scambio, per cui abbiamo    I_{E} = T\cdot I_{S}   .

Si parla inizialmente della legge di Fourier costruendola in questo modo: la differenza di temperatura ai capi del conduttore è proporzionale alla corrente di energia, in base alla “resistenza termica” R_{term} = \bigtriangleup T / I_{E}  la quale è direttamente proporzionale alla lunghezza del conduttore e inversamente proporzionale alla conducibilità termica e alla sezione del conduttore.

Poi ci si sofferma alla situazione di stato stazionario per cui la corrente di energia entrante è uguale a quella uscente. Tuttavia le correnti di entropia sono differenti, in quanto l’interazione termica tra conduttore e ambiente avviene a temperature differenti (l’ambiente è suddiviso infatti in due sistemi non interagenti i quali mantengono la loro temperatura costante nel tempo). Nello specifico se abbiamo T_{1}> T_{2} allora vale I_{S_{1}}< I_{S_{2}} il cui significato è questo: durante la propagazione dell’energia attraverso il conduttore viene prodotta entropia e questa è la dimostrazione che la conduzione termica è un processo irreversibile.

Una prima domanda interessante è la seguente: dove viene prodotta l’entropia? Il tasso di produzione di entropia è la somma di tutti i contributi in ogni tratto spaziale del conduttore ed è dato da \pi_{S}=I_{S_{2}}- I_{S_{1}} ; vale infatti l’additività della produzione di entropia.

Una seconda domanda invece mi ha messo molto in discussione: a quale temperatura viene prodotta entropia? L’autore risponde con T_{2} proponendo la seguente ottima immagine riassuntiva che indica anche, secondo definizioni precedenti, la potenza termica  P_{term}=I_{S}} \cdot \bigtriangleup T   e la potenza dissipata P_{diss}=\pi_{S} \cdot  T

fdt-locarnoIl problema però dei seguenti passaggi algebrici fdt-locarno2è che nel terzo passaggio viene scelto senza giustificare di raccogliere T_{2} , quando si potrebbe raccogliere l’altra temperatura. Questo significa che si possono avere diverse potenze dissipate, ad esempio \pi_{S} \cdot T_{2}  oppure \pi_{S} \cdot T_{1} . Ho trovato ad esempio #qui (Liberto) un articolo che preferisce la seconda delle due formule appena citate. Come mai? Se si considera la potenza dissipata come il lavoro che avremmo potuto eseguire con una macchina termica reversibile, abbiamo due situazioni: o prendiamo calore Q da T_{1} e cediamo Q \cdot T_{2}/T_{1} a T_{2}, o prendiamo Q \cdot T_{1}/T_{2} da T_{1} e cediamo Q a T_{2} . Nel primo caso abbiamo la prima potenza dissipata, nel secondo caso la seconda (i calcoli sono semplici). Ebbene, siccome il calore Q nell’unità di tempo – cioè la corrente di energia – è uguale in entrata e in uscita, l’unico elemento di preferenza è la quantità di potenza dissipata. Allora è possibile preferire la maggiore dissipazione e quindi rispondere che l’entropia in un certo tratto di conduttore (all’interno del quale avviene conduzione termica) viene prodotta alla temperatura maggiore tra le due che si trovano ai capi del tratto stesso.

Equilibrio locale, produzione di entropia e interazione termica

Dal testo “Non-Equilibrium Thermodynamics” di De Groot e Mazur ho tracciato #qui alcuni appunti sulla produzione di entropia nel fenomeno di conduzione del calore, governato dalla ben nota legge di Fourier e trascurando effetti incrociati governati dalle relazioni di reciprocità di Onsager.

Il sistema si trova nella regione lineare della termodinamica del non-equilibrio, dove valgono equazioni fenomenologiche per cui i flussi – nel nostro caso il calore che si propaga – sono proporzionali alle forze termodinamiche – nel nostro caso il gradiente termico – e la minima produzione di entropia porta all’equilibrio per sistemi isolati oppure allo stato stazionario per sistemi chiusi. Pare dunque che il principio di entropia, e con esso la freccia del tempo, si possa ulterioremente riformulare così: “In presenza di deboli forze termodinamiche un sistema qualsiasi (isolato o non isolato) nel tempo tende spontaneamente a minimizzare la propria produzione di entropia”.

Anche nel  testo “Modern Termodynamics” di Prigogine è presente questa trattazione. In quel libro si sottolinea ulteriormente che la formulazione locale di tutte queste leggi presuppone la validità delle ipotesi di equilibrio locale, per cui è possibile considerare volumetti puntiformi composti ancora da molte particelle che passano rapidamente da uno stato di equilibrio all’altro. I tempi per la termalizzazione di questi volumetti, secondo il progetto di Boltzmann di emergenza della freccia del tempo dal microscopico al macroscopico, sono considerati molto brevi rispetti ai tempi di rilassamento all’equilibrio studiati in questo approccio. Si presuppone dunque che, ad ogni istante di tempo e in ogni punto del sistema, ogni volumetto presenti una distribuzione maxwelliana delle velocità. Possiamo dunque considerare questa trattazione – pienamente macroscopica – complementare al lavoro di Boltzmann, il quale è più fondativo (si veda il teorema H) ma meno fenomenologico (si pensi alla vastità di fenomeni descritti in forma unitaria dalla termodinamica del non-equilibrio).