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Equazione di Boltzmann, limite di Grad e teorema di Landford

Ho già scritto in precedenza un post sull’eredità di Boltzmann ma non ho ancora esplicitato bene il lavoro del secolo scorso che ha consolidato le intuizioni sull’emergenza della freccia del tempo dal microscopico al macroscopico. Mi sto ovviamente riferendo alla dimostrazione rigorosa, almeno per gas perfetti molto rarefatti, del teorema H.

Prendiamo in prestito alcune parole di Vulpiani che ho trovato #qui:

fdt-vulpianiHo trovato anche un articolo di Lanford del 1968 #qui – già citato in un testo di Gallavotti – sulla meccanica classica di sistemi unidimensionali composti da infinite particelle. La difficoltà centrale del suo teorema è provare che le equazioni differenziali del moto non posso portare in tempi finiti infinite particelle in una regione di spazio finita. Tale teorema ha permesso di dare ulteriore solidità alla validità del teorema H nel limite di Boltzmann-Grad, almeno per tempi brevi.

Per approfondimenti presumo – non l’ho ancora letto – sia utile citare il testo di Cercignani, Illner e Pulvirenti “The Mathematical Theory of Dilute Gases” del 1994.

Nel limite di Grad e per tempi brevi abbiamo dunque che se vale l’ipotesi di Boltzmann di “indipendenza delle distribuzioni” al tempo iniziale, tale condizione sarà valida sicuramente anche per tutti i tempi successivi. Pare dunque che la funzione H(t) possa, in questo limite, essere considerata veramente decrescente nel tempo, senza alcuna presenza di picchi locali alla Huang. Come se le fluttuazioni di H(t) e gli effetti della reversibilità temporale della dinamica microscopica non si “vedessero” più nel caso di infinite particelle puntiformi per un gas perfetto molto rarefatto. Sappiamo che queste fluttuazioni ci sono – in quanto il gas perfetto è composto da un numero finito, seppur elevatissimo, di particelle – ma il comportamento tipico macroscopico di questo sistema che realizza una trasformazione irreversibile è “visto” senza alcuna contraddizione nella teoria. Una funzione di distribuzione non di equilibrio evolve nel tempo verso la distribuzione di equilibrio e l’equazione di Boltzmann descrive al 100% tale evoluzione.

Comunque il percorso per comprendere appieno il teorema H è appena iniziato.

Nuovi percorsi relativi al teorema H di Boltzmann

Ultimamente ho riletto i miei appunti sul teorema H di Boltzmann (vedi il wiki sull’entropia #qui) presi dal libro “Meccanica Statistica” di Huang e anche con passaggi matematici presi dal libro “An introduction to Chaos in Nonequilibrium Statistical Mechanics” di Dorfman. Poi ho cercato online nuovo materiale affine a questo argomento e ho trovato in particolare:

– l’articolo di Maxwell dove ricava la distribuzione delle velocità per un gas che si trova in uno stato di equilibrio;

– l’articolo “Su due obiezioni ben note al teorema H di Boltzmann” di Paul e Tatiana Ehrenfest, trovato nei materiali divulgati da Vulpiani;

– l’articolo di Goldstein, Lebowitz, Tumulka, Zanghi “Long-Time Behavior of Macroscopic Quantum Systems: Commentary Accompanying the English Translation of John von Neumann’s 1929 Article on the Quantum Ergodic Theorem” (wiki sull’entropia #qui).